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对函数积分的几何意义

来源:www.wflongjie.com 时间:2024-06-10 12:25:39 作者:深刻意义网 浏览: [手机版]

目录一

对函数积分的几何意义(1)

函数积分是微积分中的一个重要概念,它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用深 刻 意 义 网。函数积分的几何意义是指,函数在某一区上的面积或体积求来,这个面积或体积就是函数积分的几何意义。

一元函数积分的几何意义

  先来看一元函数积分的几何意义欢迎www.wflongjie.com。假设有一个函数f(x),它在区[a,b]上连,我想要求它在这个区上的积分。我这个区分成n个小区,每个小区的长度为ΔxQDyp每个小区的左端点和右端点分别记为xi和xi+1,则有:

Δx = (b-a)/n

  xi = a + iΔx, i = 0,1,2,...,n-1

xi+1 = a + (i+1)Δx, i = 0,1,2,...,n-1

  在每个小区上,我找到一条水平线y=c,使得它和函数f(x)的交点分别为(xi,f(xi))和(xi+1,f(xi+1))。这条水平线每个小区分成了两个分,一个在函数f(x)的上方,一个在函数f(x)的下方深刻意义网www.wflongjie.com。我每个小区的面积分别表示为一个矩形和一个梯形的面积:

矩形的面积:Δx*f(xi)

  梯形的面积:(f(xi)+f(xi+1))*Δx/2

  每个小区的面积加起来,就可得到个区[a,b]上的面积:

  S = Δx*f(x0) + Δx*f(x1) + Δx*f(x2) + ... + Δx*f(xn-1)

  = Δx*[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ... + f(xn-1)]

  当n趋近于无穷大时,Δx趋近于0,这个和式就变成了一个积分:

对函数积分的几何意义(2)

S = ∫[a,b]f(x)dx

这个积分的几何意义就是函数f(x)在区[a,b]上的面积。

二元函数积分的几何意义

接下来看二元函数积分的几何意义深~刻~意~义~网。假设有一个函数f(x,y),它在一个平面区域D上连,我想要求它在这个区域上的积分。我这个区域分成n个小的矩形,每个小矩形的面积为ΔAQDyp每个小矩形的左下和右上分别记为(xi,yi)和(xi+1,yi+1),则有:

对函数积分的几何意义(3)

ΔA = Δx*Δy

  xi = x0 + iΔx, i = 0,1,2,...,n-1

  xi+1 = x0 + (i+1)Δx, i = 0,1,2,...,n-1

  yi = y0 + jΔy, j = 0,1,2,...,m-1

  yi+1 = y0 + (j+1)Δy, j = 0,1,2,...,m-1

  在每个小矩形上,我找到一个高度为f(xi,yi)的柱体,它的底面积为ΔA。每个小矩形的体积加起来,就可得到个区域D上的体积:

V = ΔA*f(x0,y0) + ΔA*f(x0,y1) + ... + ΔA*f(xn-1,ym-1)

= ΔA*[f(x0,y0) + f(x0,y1) + ... + f(xn-1,ym-1)]

  当n和m都趋近于无穷大时,Δx和Δy都趋近于0,这个和式就变成了一个积分:

V = ∬Df(x,y)dA

这个积分的几何意义就是函数f(x,y)在平面区域D上的体积深+刻+意+义+网

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